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Problemas de canteros
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( www.gutenberg.org/files/16713/16713-h/16713-h.htm - Proyecto Gutemberg. Traducido del original InglÚs por Miquel Ramis)

El problema del escultor:130

Un viejo escultor recibió el encargo de crear dos estatuas, cada una sobre un pedestal cúbico.

Estos debían ser de distinto tamaño, y cuando llegó el momento del pago, surgió la discusión sobre si el acuerdo se basaba sobre medidas lineales o cúbicas.

Pero la duscusión quedo zanjada cuando, a la hora de medir, curiosamente, el número de pies lineares era exactamente el mismo que el número de pies cúbicos.

El problema consiste en localizar las dimensiones de dos pedestales que puedan tener esta característica, en las iguras más pequeñas posible.

Veremos que, si, por ejemplo, los pedestales midieran 3 y 1 pié respectivamente de lado, entonces las medidas cúbicas serian de 4 y 28 pies respectivamente, por lo que no serían los mismos.

( Img: www.gutenberg.org/files/16713/16713-h/16713-h.htm)

El problema de la esfera:188

Un cantero estaba tallando una gran esfera,cuando se le aproximó un estudiante.

"Mira," dijo el cantero, "pareces ser un chico listo, asi que dime, Si coloco esta esfera en el suelo, ¿ cuantas otras esferas del mismo tamaño debo colocar alrededor de ella para que todas las esferas la rodeen?

El chico le dió la respuesta correcta, y le preguntó a su vez:

"Si la superfície de esta esfera contuviera tantos pies cuadrados como su volumen contuviera pies cúbicos, cual debería ser la longitud de su diámetro?"

El cantero no supo que contestarle. ¿Podrías tu responder a ambas preguntas?

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Aqui tenemos un curioso rompecabezas mecánico, Consiste en dos bloques sólidos de madera que encajan entre sí.

Los otros dos lados que no vemos tiene exactamente la misma apariencia que la de los lados que vemos.

¿ Como encajan las piezas?

 

Rompecabezas de cruces griegas:

Mucha gente siene considerar que las cruces son un símbolo cristiano, pero esto es erróneo, puesto que se trata de un símbolo muy antíguo.

Los antíguos egipcios lo utilizaron como un símbolo sagrado, y sobre esculturas griegas encontramos representaciones de un pastel ( el supuesto origen real de nuestros hot cross buns) , llevando una cruz.

Dos de estos pasteles fueron encontrados en Herculano. Cecrops ofrecidas a Júpiter Olimpico un pastel sagrado. La cruz y esfera, tan frecuentemente encontradas en figuras egipcias es un círculo y la cruz tau. El círculo representa el cuidador eterno del mundo, y la T, llamada así por la letra griega Tau, es el monograma de Tot, el mercurio griego, que representa la sabiduría.

Esta cruz también es llamada por los cristianos Cruz de San Antonio, y se lleva en un crespón en el palacio del Obispo de Exeter.

En cuanto a los griegos, los antíguos ocultistas creían que era un símbolo de las fuerzas duales de la anturaleza, el espíritu masculino y femenino de todo lo que fuera imprerecedero.(1)

La cruz griega se forma encajando 5 cuadrados iguales.

El llamado problema hindú se remonta a más de 300 años de antiguedad.

Aparece en el sello del Harvard College, y se encuentra frecuentemente utilizado como ejemplo de ciencia matemática y exactitud.

Corta la cruz en 5 piezas que formen un cuadrado.

Las figuras 6 y 7 muestran como hacerlo.

Hasta mediados del siglo XIX no se descubrió como la cruz se podía cortar trasnformandola en un cuadrado solo con 4 piezas.

Como convertir una cruz griega de papel en un cuadrado solo con 2 cortes de tijera:

La figura 9 es especialmente interesante puesto que, según Dr. Le Plongeony el Professor Wilson del Smithsonian Institute, aquí tenemos a la gran esvástica, o símbolo de "buena suerte para tí", el más antíguo símbolo registrado por la raza humana que se conoce.

El Professor Wilson ha recogido unas 400 iustraciones de este curioso símbolo en los montículos aztecas de Mexico, las pirámides de Egipto, las ruínas de Troya, y los antíguos lugares de India o China.

lore

Vemos aquí una curiosa conexión entre la cruz griega y la esvástica.ç

 

 

Es interesante recordar aqui que otra cruz, la cruz latina, también tiene una demostración geométrica que la relaciona directamente con un cubo: la cruz latina no es sino un cubo desplegado.



188: solución:

Si se coloca una esfera en el suelo, necesitaremos 6 esferas iguales para rodearla.

Respecto a la segunda pregunta, el ratio del diámetro de un círculo es Pí; y a pesar que no podemos expresar este ratio en números exactos, nos podemos aproximar bastante para propósitos prácticos.

En este caso, no es necesario conocer siquiera el valor de Pí. Para encontrar el área de la superfície de una esfera solo tenemos que multiplicar el cuadrado del diámetro por pí; para encontrar el volúmen de una esfera multiplicamos el cubo del diámetro por 1/6 de Pí.

Por tanto, podemos prescindir de Pí, buscando únicamente un número cuyo cuadrado iguale 1/6 de su cubo.

Este número es obviamente 6. Por tanto, la esfera tenía 6 piés de diámetro, por lo que el área de su superfície será 36 veces pí en pies cuadrados, y su volúmen también 36 veces Pí en piés cúbicos.

130: solución:

A little thought will make it clear that the answer must be fractional, and that in one case the numerator will be greater and in the other case less than the denominator. As a matter of fact, the height of the larger cube must be 8/7 ft., and of the smaller 3/7 ft., if we are to have the answer in the smallest possible figures. Here the lineal measurement is 11/7 ft.—that is, 14/7 ft. What are the cubic contents of the two cubes? First 8/7 × 3/7 × 8/7 = 512/343, and secondly 3/7 × 3/7 × 3/7 = 27/343. Add these together and the result is 539/343, which reduces to 11/7 or 14/7 ft. We thus see that the answers in cubic feet and lineal feet are precisely the same.

The germ of the idea is to be found in the works of Diophantus of Alexandria, who wrote about the beginning of the fourth century. These fractional numbers appear in triads, and are obtained from three generators, a, b, c, where a is the largest and c the smallest.

Then ab+c2=denominator, and a2-c2, b2-c2, and a2-b2 will be the three numerators. Thus, using the generators 3, 2, 1, we get 8/7, 3/7, 5/7 and we can pair the first and second, as in the above solution, or the first and third for a second solution. The denominator must always be a prime number of the form 6n+1, or composed of such primes. Thus you can have 13, 19, etc., as denominators, but not 25, 55, 187, etc.

When the principle is understood there is no difficulty in writing down the dimensions of as many sets of cubes as the most exacting collector may require. If the reader would like one, for example, with plenty of nines, perhaps the following would satisfy him: 99999999/99990001 and 19999/99990001.

242. El misterio se aclara con el dibojo: como podemos ver, las dos figuras se deslizan en dirección diagonal.

Ver libro completo: amusements in mathematic

Ver el cantero consecuente

Ver área pensamiento

Ver euros2: esferas y Leonardos

 

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